LOGICA MATEMATICA
La lógica matemática es la disciplina que trata de
métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y
técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado.
PROPOSICIONES:
Son enunciados que en un contexto determinado o en una
teoría se pueden calificar como verdaderas o falsas.
Para designar una proposición se utilizarían las letras
minúsculas.
p,
q , r, s
Los conectores y, o. entonces,
si y sólo si, permiten unir dos preposiciones simples.
Notación matemática
La matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal, la notación matemática, que sigue una serie de convenciones propias.
Los símbolos representan un concepto, una relación una operación, o una fórmula
matemática según
ciertas reglas.
TABLA DE VERDAD
Una tabla de verdad es una presentación de los posibles
valores de verdad que podría tomar una proposición. Ejemplo
A
|
1
|
0
|
A
|
B
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
- El argumento por evaluarse se debe simbolizar correctamente.
- Las premisas se relacionan por medio de la conjunción, y constituirán el antecedente de una condicional.
- Se construye un enunciado condicional cuyo antecedente será la conjunción de las premisas y el consecuente será la conclusión del argumento.
- Se hace la tabla de verdad del condicional correspondiente
OPERADORES
LOGICOS
Son usados para poder utilizar proposiciones
más complejas.
Negación
(¬a): Este operador permite cambiar el valor de verdad
de las proposiciones.
a
|
¬a
|
0
1
|
1
0
|
UN EJEMPLO SERIA:
Si se tiene la proposición:
a: Si tengo un billete de cinco dólares.
La negación de a es:
¬a: no tengo un billete de
cinco dólares
Conjunción:
(a Λ b): Este operador solo es VERDADERO cuando las
dos proposiciones son verdaderas, en otro caso, es FALSO.
a
|
b
|
(a Λ b)
|
0
0
1
1
|
0
1
0
1
|
0
0
0
1
|
UN EJEMPLO SERIA:
Si se tiene las proposiciones:
a:obtengo buenas notas.
b:gano una beca.
La conjunción entre a y b es:
(a Λ b): obtengo buenas notas y
gano una beca.
Disyunción:
(a V b) Este operador solo es FALSO solo cuando las
dos proposiciones son FALSAS, en otro caso, es VERDADERA.
a
|
b
|
(a v b)
|
0
0
1
1
|
0
1
0
1
|
0
1
1
1
|
UN EJEMPLO SERIA:
Si se tiene las proposiciones:
a:tengo un libro de trigonometría.
b:tengo un libro de algebra.
La disyunción entre a y b es:
avb : tengo un libro de trigonometría o uno de algebra.
Condicional
(a→b): Este operador solo es FALSO cuando la primera
proposición es verdadera, y la segunda es falsa, en otro caso, es VERDADERA.
a
|
b
|
(a →b)
|
0
0
1
1
|
0
0
0
1
|
1
1
0
1
|
UN EJEMPLO SERIA
Si se tienen las proposiciones:
Si se tienen las proposiciones:
a:juan gana el concurso.
b:juan dona $10 000.
La condicional entre a y b es:
a→b:si juan gana el concurso, entonces dona $10 000
PROPOSICIONES SIMPLE Y COMPUESTA
Proposiciones simples son aquellas que no
poseen operador lógico alguno.
Las proposiciones compuestas están formadas
por otras proposiciones y operadores lógicos.
Ejemplo: 1.20 Traduccion
al lenguaje simbolico.
Traduzca al lenguaje simbolico la proposicion:
"Si la seguridad privada es efectiva, disminuyen los indices de asalto en la ciudad y el turismo se desarrolla. Los indices de asalto no disminuyen, pero la seguridad privada es efectiva. Entonces, el turismo no se desarrolla".
Solucion:
Se puede identificar las siguientes proposiciones simples:
a: La seguridad privada es efectiva.
b: Los indices de asalto disminuyen en la ciudad.
c: El turismo se desarrolla.
Los operadores logicos que se encuentran presentes en esta proposicion compuesta son la condicional, la conjuncion y la negacion.
La traduccion es:
[(a→(b^c))^(¬b^a)]→(¬c)
Ejemplo 1.21 Determinacion de valores de verdad.
Bajo la suposicion de que los valores de verdad de las proposiciones simples a,b,c y d son respectivamente 0,0,1,1, indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones compuestas:
a) ¬(avb)→(c^¬d)
b)¬(c←→a)v(b^d)
Solucion:
a) ¬(0v0)→(1^0)
¬(0)→0
1→0
0
El valor de verdad de esta proposicion es falso.
b) ¬(1←→0)v(0^1)
¬(0)v0
1v0
1
El valor de verdad de esta proposicion de esta proposicion es verdadera.
Traduzca al lenguaje simbolico la proposicion:
"Si la seguridad privada es efectiva, disminuyen los indices de asalto en la ciudad y el turismo se desarrolla. Los indices de asalto no disminuyen, pero la seguridad privada es efectiva. Entonces, el turismo no se desarrolla".
Solucion:
Se puede identificar las siguientes proposiciones simples:
a: La seguridad privada es efectiva.
b: Los indices de asalto disminuyen en la ciudad.
c: El turismo se desarrolla.
Los operadores logicos que se encuentran presentes en esta proposicion compuesta son la condicional, la conjuncion y la negacion.
La traduccion es:
[(a→(b^c))^(¬b^a)]→(¬c)
Ejemplo 1.21 Determinacion de valores de verdad.
Bajo la suposicion de que los valores de verdad de las proposiciones simples a,b,c y d son respectivamente 0,0,1,1, indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones compuestas:
a) ¬(avb)→(c^¬d)
b)¬(c←→a)v(b^d)
Solucion:
a) ¬(0v0)→(1^0)
¬(0)→0
1→0
0
El valor de verdad de esta proposicion es falso.
b) ¬(1←→0)v(0^1)
¬(0)v0
1v0
1
El valor de verdad de esta proposicion de esta proposicion es verdadera.
TABLA DE VERDAD
·
Cuando todo es verdadero se llama tautología.
· Cuando todo es falso se llama contradicción.
· Cuando se obtiene proposiciones falsas y otras verdadera se llama contingencia
.
·
Cuando todo es falso y uno verdadero es falacia.
FORMAS DE
CONSTRUCCIÓN DE TABLAS DE VERDAD:
Paso 1: colocar las
combinaciones de valores de verdad debajo de cada variable.
La fórmula del calculo es 2n (la n va arriba del 2) donde: * 2= representa los valores de certeza ( 1 o 0).
* n = número de proposiciones atómicas.
La fórmula del calculo es 2n (la n va arriba del 2) donde: * 2= representa los valores de certeza ( 1 o 0).
* n = número de proposiciones atómicas.
[ ( P ^ Q) ——> (¬
P)] v ( ¬ Q)
Tenemos dos variables P y Q
Entonces 2 al cuadrado = 4
Tenemos dos variables P y Q
Entonces 2 al cuadrado = 4
P
|
Q
|
1
1
0
0
|
1
0
1
0
|
Paso 2: Transformar
los valores de verdad tomando en cuenta la negación (si los hay)
Ejemplo: [ ( P ^
Q)—–> (¬P)] v (¬ Q)
| ¬P |
¬Q
|
0
0
1
1
|
0
1
0
1
|
Paso 3: Se calula
primero el calor de verdad de los paréntesis tomando en cuenta las definiciones
del conectivo lógico.
Ejemplo: [( P ^
Q)—-> (¬ P)] v (¬Q)
P ^ Q
|
1
0
0
0
|
Paso 4: Se compara
el resultado del valor de verdad del paréntesis con el valor de verdad del
corchete (si lo hay)
Paso 5: Se compara
el resultado de ese valor de verdad del corchete con el de las llaves (si lo
hay)
[( P ^ Q)—->(¬P)]
|
0
1
1
1
|
P
|
q
|
¬P
|
¬q
|
( P ^ Q)
|
[( P ^ Q)—> (¬ P)
|
[ ( P ^ Q)—–> (¬P)] v (¬ Q)
|
1
1
0
0
|
1
0
1
0
|
0
0
1
1
|
0
1
0
1
|
1
0
0
0
|
1
0
0
0
|
0
1
1
1
|
¿Quién se atreve con los siguientes ejercicios?
1. ( p v q ) → ( q v p )
3. [(p→¬q)∧(¬p→¬r)∧(¬r→s)]→s
4.[ (¬p v q) v (p ^q)] →[ (¬p v q) v ¬p ]
5.[ (p v ¬ q) → (p → q)] → [(¬p → q) v ¬p] v ¬p
6.(p ^ q → p v ¬r) → ¬(¬q v ¬r) ^ r
7.(¬p ^ q → p v r) ↔ ¬(¬q v ¬r) ^ r
8.(p v ¬q → p ^ r ) ↔ [ ¬(¬ q v ¬ r) v ( r → ¬ q) ]
9.(¬p ↔ q v ¬r) ∧ ¬(¬p ↔ q v ¬r)
QUE ES UNA RAZON
Razón es una noción con una gran cantidad de acepciones, donde
la razón es el cociente de dos cifras. Se trata de aquello que resulta
cuando una de las magnitudes o cantidades se divide o se resta por otra. Las
razones, por lo tanto, pueden expresarse como fracciones o como números
decimales.
24 /
6 = 4 (o, dicho de otro modo: 6 x 4 =
24).
Podemos afirmar, siguiendo con
el mismo ejemplo, que 24 tiene 4 veces 6.
QUE ES UNA PROPORSION
Una proporción es una
igualdad entre dos razones, y aparece frecuentemente en notación
fraccionaria.
Para resolver una proporción,
debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación. Por ejemplo:
2=6
5=15
5=15
2 · 15 = 6 ·
5
30 = 30
PROPIEDADES DE LA PROPORCION ._
El producto de los extremos es igual al producto de los medios.
a b
= ad
=cd
b c
en toda proporción , la suma o
diferencia entre el antecedente y el consecuente de la
primera razón es a su consecuente , como la suma o diferencia entre el
antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente .
a = c → a + b = c + d
b d b d
a = c → a - b = c - d
b d b d
a = c → a + b = c + d
b d b d
a = c → a - b = c - d
b d b d
PROPORCIONALIDAD
Proporción directa
Cuando las 2 aumentan o las 2
disminuyen.
PROPORCION INDIRECTA
Cuando una entidad aumenta y la otra
disminuye.
PROPORCION COMPUESTAS
Combinación de directa a inversa.
REGLA DE 3
SIMPLE
·
INVERSA. Una aumenta y la otra disminuye
·
DIRECTA. Las 2 aumentan o las 2 disminuyen.
COMPUESTA
Combinación inversa y directa
Por ejemplo:
2 = 6
5 15
5 15
Para resolver una
proporción, debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación. Por ejemplo:
2 =
6 =
5 15
5 15
2 · 15 = 6 · 5
30 = 30
Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg
cuestan 0.80 €, ¿cuánto pagará Ana?
Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más
kilos, más
euros.
2 kg
0.80 €
0.80 €
5 kg 
x €
x €
IDENTIDAD DE IGUALDAD
* Igualdad : Es la expresión de equivalencia de dos
cantidades numéricas o literales. Ejemplo: 3+2 = 5; x +2x = 3x
* Identidad : Es una igualdad literal que se verifica para cualquier valor de la variable. Ejemplo: 15 + x = 15 + x
* Ecuación : Es una igualdad en la que hay una o más cantidades literales desconocidas llamadas incógnitas.
Ejemplos:
5 + x = 8
2x + 3y = 16 ;
4u + 7w +3z = 27
* Las incógnitas, en general, se representan por letras minúsculas x,y,z,u,v, etc.
* El grado de la ecuación con una incógnita, está dado por el mayor exponente de dicha incógnita.
Dentro de las ecuaciones de Primer grado podemos distinguir:
* Ecuación Numérica: la única letra que hay es la incógnita. Ejemplo: 7x – 15 = 6x –2.
* Ecuación Literal: hay una o más letras además de la incógnita.
Ejemplo: 12x – 3a = 5x + 2b + 17.
La letras "a" y "b" representan constantes (conocidas, que se pueden o no especificar),
"x" es la incógnita.
* La ecuaciones pueden tener coeficientes enteros o fraccionarios.
2x + 5 = 7 (NO Fraccionarios) ;
2/3 x - 1 = 5/8 (SI Fraccionarios).
* Solución o raíz: Es el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad.5x – 2 = 13; tiene por solución 3 pues 3 hace verdadera la igualdad: 5(3) – 2 = 13
* Identidad : Es una igualdad literal que se verifica para cualquier valor de la variable. Ejemplo: 15 + x = 15 + x
* Ecuación : Es una igualdad en la que hay una o más cantidades literales desconocidas llamadas incógnitas.
Ejemplos:
5 + x = 8
2x + 3y = 16 ;
4u + 7w +3z = 27
* Las incógnitas, en general, se representan por letras minúsculas x,y,z,u,v, etc.
* El grado de la ecuación con una incógnita, está dado por el mayor exponente de dicha incógnita.
Dentro de las ecuaciones de Primer grado podemos distinguir:
* Ecuación Numérica: la única letra que hay es la incógnita. Ejemplo: 7x – 15 = 6x –2.
* Ecuación Literal: hay una o más letras además de la incógnita.
Ejemplo: 12x – 3a = 5x + 2b + 17.
La letras "a" y "b" representan constantes (conocidas, que se pueden o no especificar),
"x" es la incógnita.
* La ecuaciones pueden tener coeficientes enteros o fraccionarios.
2x + 5 = 7 (NO Fraccionarios) ;
2/3 x - 1 = 5/8 (SI Fraccionarios).
* Solución o raíz: Es el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad.5x – 2 = 13; tiene por solución 3 pues 3 hace verdadera la igualdad: 5(3) – 2 = 13
Ecuaciones lineales de primer grado
Las ecuaciones lineales de primer grado
son del tipo ax
+ b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al
operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión.
Resolución de ecuaciones de primer grado
En general para resolver una ecuacion de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x en
un miembro y los términos independientes en el otro.
4º Reducir los términos semejantes.
5º Despejar la incógnita.
2x = 6
Despejamos la incógnita:
x= 6/2
x = 3
Agrupamos los términos semejantes y
los independientes, y sumamos:
2x - x = 6 + 3
2(2x - 3) = 6 + x
Quitamos paréntesis:
4x - 6 = 6 + x
Agrupamos términos y sumamos:
4x - x = 6 + 6
3x = 12
Despejamos la incógnita:
x = 12/3
x = 4
Una ecuación cuadratrica o de segundo grado es
aquella que puede representarse con un predicado de la forma.
P(X)= ax2 + bx + c= u
EJEMPLO
x2+ 52 - 6= o
(x+6)(x-1)=0
(x+6=0) o (x-1=0)
X=-6
x=-1
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Se conoce al sistema de ecuación lineal a la
unión de 2 o mas ecuaciones y esta debe ser de forma cuadrática según el numero
de ecuaciones.
2x =
6
Despejamos la
incógnita:
x=6/2
X = 3
Agrupamos los
términos semejantes y los independientes, y sumamos:
2x – x =6 + 3
X = 9
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